L’Abeille et l’hexagone

Pourquoi un hexagone ?

Le premier souci des abeilles est de paver le plan pour pouvoir ensuite paver l’espace. On connaît trois polygones réguliers permettant de paver le plan : le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone. Or, on peut démontrer que, parmi ces trois polygones réguliers, pour une même surface, l’hexagone est le polygone régulier offrant le plus petit périmètre.

Cependant, on pourrait se demander si l’hexagone est bien le pavage du plan le plus économique. En effet, on pourrait envisager de combiner des polygones de toutes sortes, qui ne sont pas forcément réguliers ni même dont les côtés forment une ligne droite. On ne savait pas grand-chose sur ce sujet jusqu’en 1943, date à laquelle le mathématicien hongrois Fejes Tóth démontra que la structure hexagonale régulière restait le polygone le plus économique pour paver le plan parmi tous les polygones à côtés droits.

Mais que se passe-t-il lorsque les côtés sont courbes ? Fejes Tóth pensait que la structure hexagonale régulière resterait la plus efficace, mais il ne parvint pas à le démontrer.

Ce n’est qu’en 1999 que Thomas Hales présente sa preuve en 19 pages (Honeycomb Conjecture).

Pourquoi des rhombes ?

Le fond formé de trois rhombes permet un adossement simple des alvéoles. Il est même facile de prouver qu’il est plus économique qu’un fond plat hexagonal mais reste-t-il le moyen le plus économique ?

 

En 1964, Fejes Toth a démontré que si le fond était formé de deux petits hexagones ainsi que de deux losanges, à la place de trois rhombes, la quantité de cire serait, pour un même volume, inférieure de 0,35 % à ce qu’elle est avec les losanges.

Calcul des angles

Pour déterminer les angles des rhombes minimisant la surface des alvéoles de la ruche, on peut déjà remarquer que le remplacement d’un fond hexagonal AB′CD′EF′ par un fond formé de 3 rhombes de diagonales AC, CE, EF, ne modifie pas le volume de l’alvéole. En effet, le volume ôté est exactement égal au volume ajouté.

Il s’agit maintenant de comparer les surfaces.